Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer

（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；
（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；
解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．
【解析】
（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．
故CD⊥平面A1ABB1．
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==
（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．
又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===
解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．
设直三棱柱的高为h，则A（-2，0，0），A1（-2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，-h）
由AB1⊥A1C，可得8-h2=0，h=2，故=（-2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）
设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥
∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）
设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），
所以cos＜，＞===，所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值