Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a₂S_n+a₁，其中a₂≠0．
（I）求证：{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）若a₂＞-1，求证，并给出等号成立的充要条件．

Answer

（I）根据Sn+1=a2Sn+a1，再写一式，两式相减，即可证得{an}是首项为1的等比数列；
（II）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞-1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．
证明：（I）∵Sn+1=a2Sn+a1，①
∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②
②-①可得：an+2=a2an+1
∵a2≠0，∴
∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1
∵a2≠0，∴a1=1
∴{an}是首项为1的等比数列；
（II）当n=1或2时，等号成立
设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为
（n≥3）
即证（n≥2）
a2=1时，等号成立
当-1＜a2＜1时，与同为负；
当a2＞1时，与同为正；
∴a2＞-1且a2≠1时，（）（）＞0，即
上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得
∴
综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．