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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的...

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2manfen5.com 满分网,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

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(1)可以利用线面垂直的判定与性质,证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形,然后在Rt△PAD中,利用勾股定理得到PD=2,最后得到三角形PCD的面积S; (2)[解法一]建立如图空间直角坐标系,可得B、C、E各点的坐标,从而=(1,,1),=(0,2,0),利用空间向量数量积的公式,得到与夹角θ满足:cosθ=,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为; [解法二]取PB的中点F,连接AF、EF,△PBC中,利用中位线定理,得到EF∥BC,从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角,然后可以通过计算证明出:△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形,所以∠AEF=,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为. 【解析】 (1)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD, ∴CD⊥PA ∵矩形ABCD中,CD⊥AD,PA、AD是平面PDC内的相交直线 ∴CD⊥平面PDA ∵PD⊂平面PDA,∴CD⊥PD,三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形 ∵Rt△PAD中,AD=2,PA=2, ∴PD==2 ∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2 (2)[解法一] 如图所示,建立空间直角坐标系,可得B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,,1) ∴=(1,,1),=(0,2,0), 设与夹角为θ,则cosθ=== ∴θ=,由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为 [解法二] 取PB的中点F,连接AF、EF、AC, ∵△PBC中,E、F分别是PC、PB的中点 ∴EF∥BC,∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角 ∵Rt△PAC中,PC==4 ∴AE=PC=4 ∵在△AEF中,EF=BC=,AF=PB= ∴AF2+EF2=AE2,△AEF是以F为直角顶点的等腰Rt△ ∴∠AEF=,可得异面直线BC与AE所成的角的大小为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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