Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C₂：4x²+y²=1，若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer

（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐进线的交点，然后求出三角形的面积．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．
【解析】
（1）双曲线C1：左顶点A（-），
渐近线方程为：y=±x．
过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，
所以，解得．
所以所求三角形的面积为S=．
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故，
即b2=2，由，
得x2-2bx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
又y1y2=（x1+b）（x2+b）．
所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2
=2（-1-b2）+2b2+b2
=b2-2=0．
故PO⊥OQ．
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），
则直线OM的方程为y=，由
得，
所以．
同理，
设O到直线MN的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以==3，
即d=．
综上，O到直线MN的距离是定值．