Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据离心率为，可设，则，利用经过点A（2，1）可得，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立，利用韦达定理及用坐标表示向量，即可确定的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由离心率为，可设，则
因为经过点A（2，1）
所以，解得，所以a2=6，b2=3
所以椭圆方程为…（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-3），
直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）…（5分）
由，消元整理得：（1+2k2）x2-12k2x+18k2-6=0…（7分）
△=（12k2）2-4（1+2k2）（18k2-6）＞0得 0≤k2＜1…（8分）
，…（9分）
∴=（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=（x1-3）（x2-3）+y1y2…（10分）
=（1+k2）[x1x2-3（x1+x2）+9]==…（11分）
因为0≤k2＜1，所以
所以的取值范围是（2，3]．…（14分）