Question

数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求证：a₁+a₂+…+a_n=；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）利用数列{an}满足，分别代入，即可求得a2，a3；
（Ⅱ）由知  ，从而可得，代入即可得出结论；
（Ⅲ） 证明等价于证明，
即证 ，再利用数学归纳法进行证明．
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an}满足．
∴，…（2分）
（Ⅱ）证明：由知  ，．                     （1）
所以    ，
即      ．                              …（5分）
从而  a1+a2+…+an==．                           …（7分）
（Ⅲ） 证明：等价于
证明，
即    ．                          （2）…（8分）
当n=1时，，，
即n=1时，（2）成立．
设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 ．
当n=k+1时，由（1）知；         …（11分）
又由（1）及知 均为整数，
从而由 有 即，
所以  ，
即（2）对n=k+1也成立．
所以（2）对n≥1的正整数都成立，
即对n≥1的正整数都成立．     …（13分）
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．