Question

（1）求证：对任意的正实数x，不等式都成立．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式总成立．

Answer

（1）构造函数，求导函数，确定函数的单调性与极值，即可证得结论；
（2）由（1）知：对x∈（0，+∞）均有，故，由此利用放缩法及裂项法，即可证得结论．
（1）证明：设函数，则．令f'（x）=0，得x=．
当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；
当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减；
所以，对任意的x＞0，不等式总成立．
（2）证明：由（1）知：对x∈（0，+∞）均有，故．
当n=1时，结论显然成立；
当n≥2时，有：．
综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．