Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer

（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．
法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．
（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B-DE-C的余弦值．
（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，11），B（2，2，0）．
∴，
设是平面BDE的一个法向量，
则由，得，∴．
∵，
∴，
又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DEC的一个法向量．
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
由题意可知．
∴．