Question

（1）讨论函数（x∈[e^-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式总成立．

Answer

（1）利用导数判断f（x）在上递增，函数f（x）在上递减，由此求得函数的值域，从而得到f（x）图象与直线y=k的交点个数．
（2）根据函数的单调性求得f（x）在（0，+∞）上的最大值为，x∈（0，+∞）时，，
用数学归纳法，结合放缩法证明不等式成立．
（1）【解析】
由题意得：．令f'（x）=0，得x=．
当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；
当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减．
又因为f（e-1）=-e2，，，所以当或k＜-e2时，没有交点；
当或时，有唯一的交点；当时，有两个交点．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在上递增，在上递减，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值为．
即对x∈（0，+∞）均有，故．
当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有  
=≤ 
＜= 
=．
综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．