Question

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；
（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．

Answer

（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．B=，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率．
（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，由C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率．
【解析】
（Ⅰ）记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，
A表示事件：第3次发球，甲得1分，
B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，
C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．
∴B=，
P（A）=0.4，P（A）=0.42=0.16，
P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，
P（B）=
=P（A•A）+P（）
=
=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）
=0.352．
答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．
（Ⅱ），
P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，
，
，
∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，
∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）
=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）
=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）
=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16
=0.3072．
答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．