（1）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x
2+2xy+y
2=1在矩阵A=
（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x
2+y
2=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A
2的逆矩阵．
考点分析：
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已知函数f（x）=e
x+ax
2-ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．
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如图，椭圆E：
的左焦点为F
1，右焦点为F
2，离心率e=
．过F
1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF
2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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如图，在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中AA
1=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B
1E⊥AD
1；
（Ⅱ）在棱AA
1上是否存在一点P，使得DP∥平面B
1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B
1E-A
1的大小为30°，求AB的长．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin
213°+cos
217°-sin13°cos17°
（2）sin
215°+cos
215°-sin15°cos15°
（3）sin
218°+cos
212°-sin18°cos12°
（4）sin
2（-18°）+cos
248°-sin
2（-18°）cos48°
（5）sin
2（-25°）+cos
255°-sin
2（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
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受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
| 品牌 | 甲 | 乙 |
| 首次出现故障时间x（年） | 0＜x＜1 | 1＜x≤2 | x＞2 | 0＜x≤2 | x＞2 |
| 轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
| 每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X
1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X
2，分别求X
1，X
2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
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