Question

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）．试比较+++…+与1的大小，并说明理由．

Answer

由f′（x）=x2-1，an+1≥f′（an+1），知an+1≥（an+1）2-1．由函数g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在区间[1，+∞）上单调递增，于是由an≥1，得a2≥（a1+1）2-1≥22-1，由此猜想：an≥2n-1．再用数学归纳法证明．
【解析】
∵f′（x）=x2-1，an+1≥f′（an+1），
∴an+1≥（an+1）2-1．
∵函数g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在区间[1，+∞）上单调递增，
于是由an≥1，得a2≥（a1+1）2-1≥22-1，
由此猜想：an≥2n-1．
以下用数学归纳法证明这个猜想：
①当n=1时，1=a1≥21-1=1，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即ak≥2k-1，
则当n=k+1时，
由g（x）=（x+1）2-1在区间[1，+∞）上单调递增知，
ak+1≥（ak+1）2-1≥22k-1≥2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n-1．
即1+an≥2n，∴≤，
∴+++…+≤+++…+=1-（）n＜1．