Question

已知函数f（x）=，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是    （把所有满足要求的命题序号都填上）．

Answer

由解析式判断出f（x）＞0，再求出f[f（x）]的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假．
【解析】
由题意知，当x≥0时，f（x）=ex≥1；当x＜0时，f（x）=-2x＞0，
∴任意x∈R，有f（x）＞0，则，画出此函数的图象如下图：

∵f[f（x）]+k=0，∴f[f（x）]=-k，
由图得，当-e＜k＜-1时，方程恰有1个实根；
当k＜-e时，方程恰有2个实根，
故①②正确．
故答案为：①②．