Question

设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（ ）
A．（-1，-]
B．[，1﹚
C．（-1，+∞）
D．（-∞，1）

Answer

若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．
【解析】
若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即，
∴a，b是方程x=的两个实数根，
即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k时，，解得-1＜k≤-．
当k＞-时，，无解．
故k的取值范围是（-1，-]．
故选A．