Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且满足b₁=a₁，2b₃=b₄
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer

（1）利用数列的前n项和的公式，先求得a1，后看≥2时，an=Sn-Sn-1，求得数列的通项公式，设出等比数列{bn}的公比，利用2b3=b4求得q，利用b1=a1求得首项，则等比数列的通项公式可求．
（2）数列{anbn}的前n项和为Tn，然后利用错位相减法求得Tn．
【解析】
（1）由已知Sn=n2，得a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1
所以an=2n-1（n∈N*）
由已知，b1=a1=1
设等比数列{bn}的公比为q，由2b3=b4得2q2=q3，所以q=2
所以bn=2n-1
（2）设数列{anbn}的前n项和为Tn，
则Tn=1×1+3×2+5×22++（2n-1）•2n-1，2Tn=1×2+3×22+5×23++（2n-1）•2n，
两式相减得-Tn=1×1+2×2+2×22++2×2n-1-（2n-1）•2n（10分）=1+2（2+22++2n-1）-（2n-1）•2n=1+4（2n-1-1）-（2n-1）•2n（11分）=-（2n-3）•2n-3
所以Tn=（2n-3）2n+3