Question

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，AB=AC=AA₁=2，面ABC₁⊥面AA_lC_lC，∠AA_lC_l=∠BAC₁=60，
AC₁与A₁C相交于0．
（1）求证．BO上面AA_lC_lC；
（2）求三棱锥C₁-ABC的体积；
（3）求二面角A₁-B₁C₁-A的余弦值．

Answer

（1）由已知中AB=AC=AA1=2，，∠AAlCl=∠BAC1=60，AC1与A1C相交于0．结合菱形的对角线互相垂直，正三角形三线合一，可证得BO⊥AC1，再由面ABC1⊥面AAlClC，及面面垂直的性质定理可得BO上面AAlClC；
（2）根据等体积法及（1）中结论，可得，求出棱锥的底面面积及高，代入棱锥体积公式，可得答案．
（3）法一：以O为坐标原点建系，分别求出平面A1B1C1和平面B1C1A的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
法二：连接AB1交A1B与F，作FG∥C1O交B1C1于G，连接A1G，根据二面角的平面角的定义，可得∠A1GF即为二面角A-B1C1-A1的平面角，解三角形A1GF可得答案．
证明：（1）由题意得四边形AA1C1C为菱形，又∠AAlCl=60，
∴△AAlCl为正三角形，即AC1=AA1，
又∵AB=AA1，∴AC1=AB，
又∠BAC1=60，
∴△BAlCl为正三角形，
又∵O为AC1的中点
∴BO⊥AC1，
又面面ABC1⊥面AAlClC，
∴BO上面AAlClC                               （5分）
（2）由（1）得
（8分）
（3）（法一）以O为坐标原点建系如图，则（10分）
∴平面A1B1C1的一个法向量为，
平面B1C1A的一个法向量为
设二面角A1-B1C1-A的平面角为θ，
则（13分）
（法二）连接AB1交A1B与F，易得C1O⊥A1F，AB1⊥A1F
∴A1F⊥平面B1C1A，又C1O⊥OF，
作FG∥C1O交B1C1于G，连接A1G
得FG⊥B1C1，A1G⊥B1C1
则∠A1GF即为二面角A-B1C1-A1
易得FG=1，，故
cos∠A1GF=                                              （13分）