Question

设函数方程f（x）=x有唯一的解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）且
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若，求s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n；
（3）在（2）的冬件下，若不等式对一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

Answer

（1）根据ax2+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得，利用f（xn）=xn+1，可得，取倒数，即可证得数列{}是等差数列； 
（2）先确定，从而可得，故，由此可求Sn=b1+b2+b3+…+bn．
（3）原不等式即为对一切n∈N*，不等式恒成立，
设，则h（n）＞0，作商，可得h（n）随n递增，从而可得k的最大值．
（1）证明：由题意得：ax2+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得
∴f（x）=
∵f（xn）=xn+1（n∈N﹡）
∴
∴，即
∴数列{}是等差数列； （4分）
（2）【解析】
由，即，解得x1=1
故，即
∴，
∴
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（8分）
（3）【解析】
（理）∵
∴原不等式即为对一切n∈N*，不等式恒成立，
设，则h（n）＞0
即h（n）随n递增，故，
所以k的最大值为（13分）