Question

已知数列 {a_n}，其中a₂=6且 =n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求（++…+ ）．

Answer

（1）由a2=6，=n，可求得a1=1，a3=15，a4=28．
（2）由（1）可猜想an=n（2n-1），然后用数学归纳法证明即可；
（3））先用裂项法求得=[-]，从而得到++…+=（1-），再取极限即可得答案．
【解析】
（1）∵a2=6且 =n，
∴=1，=2，=3，..1′
解得a1=1，a3=15，a4=28，…3′
（2）由此猜想an=n（2n-1）…4′
下面用数学归纳法加以证明：
①当n=1时，a1=1×（2×1-1）=1，结论正确；
当n=2时，a2=2×（2×2-1）=6，结论正确；…5′
②假设n=k（k≥2）时结论正确，即ak=k（2k-1），
则当n=k+1时，
∵=k，
∴（k-1）ak+1=（k+1）ak-（k+1）
=（k+1）k（2k-1）-（k+1）
=（k+1）（2k2-k-1）
=（k+1）（2k+1）（k-1），
∵k-1≠0，
∴ak+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
即当n=k+1时，结论正确…7′
由①②可知，数列{an}的通项公式为：an=n（2n-1）…8′
（3）∵==[-]…10′
∴（++…+ ）=（1-）=…12′