Question

某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

Answer

（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．
【解析】
（1）当0＜x≤100时，p=60；
当100＜x≤600时，
p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
∴p=
（2）设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；
当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2．
∴y=
当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000；
当100＜x≤600时，y=22x-0.02x2=-0.02（x-550）2+6 050，
∴当x=550时，y最大，此时y=6 050．
显然6050＞2000．
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．