Question

设函数f（x）对其定义域内的任意实数，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有（当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正确命题的序号是    （写出所有你认为正确命题的序号）．

Answer

作图可知①正确，②不正确．对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为，点D的坐标为，故≥．对于④，因为f（x）=sinx在上是凸函数，由琴生不等式知．
【解析】
作图可知①正确，②不正确．
对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为，
点D的坐标为，
于是得≥，即③正确．
对于④，因为f（x）=sinx在上是凸函数，
由琴生不等式知，
即，
所以，
当A=B=C时，取④正确．
综上所述，正确命题是①③④．