Question

已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量=（a，-2b-c），=（cosA，cosC），且∥．
（I）求角A的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

Answer

（I）利用两个向量共线的性质得acosC+（2b+c）cosA=0，再由正弦定理得sin（A+C）+2sinBcosA=0，由此求出cosA的值，即可得到角A的大小．
（II）由A=，故 B=，代入要求的式子化简为 +2 sin（C+），根据C+ 的范围，求出 sin（C+）的最大值，即可得到 +2 sin（C+）的最大值．
【解析】
（I）∵∥，
∴acosC+（2b+c）cosA=0．
由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，
∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．
∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，
∴cosA=-，得A=．
（II）∵A=，∴B=，
∴=2•-sin（-C）=+cosC+sinC=+2 sin（C+）．
∵0＜C＜，
∴＜C+＜，
∴当 C+=时，即C=时，取得最大值等于+2．
此时，C=，B=．