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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=2,M是BC的中点.
(I)求证:A1C∥平面AB1M;
(Ⅱ)求二面角B-AB1-M的大小;
(Ⅲ)求点C1到平面AB1M的距离.

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(I)证明线面平行,通常利用线面平行的判定定理,这里我们可以利用中位线的性质,得到线线平行; (Ⅱ)先作出二面角的平面角,再进行求解,过点M作MN⊥AB于N,连接ON,可证∠MON是二面角B-AB1-M的平面角,在直角△OMN中,可求二面角B-AB1-M的大小; (Ⅲ)设点C1到平面AB1M的距离为d,利用=,可求点C1到平面AB1M的距离. (I)证明:连接A1B,交AB1于O,连接OM 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以O是A1B的中点 因为O,M分别是A1B和BC的中点,所以OM∥A1C 因为A1C⊄面AB1M,OM⊂面AB1M 所以A1C∥面AB1M (Ⅱ)【解析】 过点M作MN⊥AB于N,连接ON ∵平面ABC⊥平面ABB1A1, ∴MN⊥平面ABB1A1,可知ON是OM在平面ABB1A1内的射影 又O是A1B的中点,则OM⊥A1B,∴AB1⊥ON 故∠MON是二面角B-AB1-M的平面角 ∵CA=2,∴,AB1=2 ∴ 在直角△OMN中, ∴二面角B-AB1-M的大小为30°; (Ⅲ)【解析】 设点C1到平面AB1M的距离为d,由=得 . ∴ ∴点C1到平面AB1M的距离为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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