Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设；
（Ⅲ）设，求证：．

Answer

（Ⅰ）由2=an+1，知，故2（an+1+an）=（an+1+an）（an+1-an），所以（an+1+an）（an+1-an-2）=0，由此能够证明数列{an}是首项为a1=1，公差d=2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=a1+（n-1）d=2n-1，由=，知Tn=b1+b2+…+bn=，再由错位相减法能够求出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：=，故==，由此能够证明．
（Ⅰ）证明：∵2=an+1，
∴，
∴an+1=Sn+1-Sn=-
=，
即：2（an+1+an）=（an+1+an）（an+1-an），
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0，
∵an＞0，∴an+1+an＞0，∴an+1-an-2=0，
∴an+1-an=2，
当n=1时，S1=，即a1=，
∴，解得a1=1．
∴数列{an}是首项为a1=1，公差d=2的等差数列．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知：an=a1+（n-1）d=2n-1，
∵=，
∴Tn=b1+b2+…+bn=，①
=，②
①-②得：
=
=，
∴．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得：=，
∴
==，
∴c1+c2+c3+…+cn=
=，
故．