Question

在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y²=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．

Answer

（1）根据抛物线的定义及横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．可求得p，则抛物线方程可得．
（2）设圆心C的坐标为，半径为r，根据圆心C在y轴上截得的弦长为4表示出r和y的关系，代入圆的方程，根据对于任意的y∈R，方程均成立进而得到关于x和y的方程组，求得x和y，进而推断圆C过定点．
【解析】
（1）依题意，得：，∴p=2．
抛物线标准方程为：y2=4x
（2）设圆心C的坐标为，半径为r．
∵圆心C在y轴上截得的弦长为4∴
圆心C的方程为：
从而变为：①
对于任意的y∈R，方程①均成立．
故有：解得：
所以，圆C过定点（2，0）．