Question

在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求p的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，求证：．

Answer

（1）设数列{an}的公差为d，由题意得[a1+（n-1）d]（a1+nd）=n2+3n+2对n∈N*恒成立，即，求出首项和公差，再由a1=p＞0，求得p的值．
（2）由条件可得 =，①当n为奇数，求得an=p，即当n=1时也符合．②当n为偶数，由题意可得 an=a2 ，因为a1⋅a2=6，由此求得数列{an}的通项公式．
再用裂项法和放缩法证明两种情况下Sn的值都大于．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd．由题意得，[a1+（n-1）d]（a1+nd）=n2+3n+2对n∈N*恒成立．
即d2n2+（2a1d-d2）n+（a12-a1d）=n2+3n+2． 所以，即或．
因为a1=p＞0，故p的值为2． …（3分）
（2）因为an+1⋅an=n2+3n+2=（n+1）（n+2），所以an+2⋅an+1=（n+2）（n+3）． 所以=．  …（5分）
①当n为奇数，且n≥3时，=，=，…，=． 相乘得=，所以an=p．当n=1时也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，=，=，…，=．  相乘得=，所以an=a2．
因为a1⋅a2=6，所以a2=．  所以an=，当n=2时也符合． 所以数列{an}的通项公式为an=．  …（7分）
当n为偶数时，Sn=p++2p++…+p+=p⋅+=p+．
当n为奇数时，Sn=p++2p++3p++…++p=p⋅+⋅=p+．
所以Sn=．  …（10分）
（3）当n为偶数时，=+++…++≥4（++…+）=4[++…+]
＞2[+++…++]
=2（-+-+…+-）=．…（13分）
当n为奇数，且n≥2时，=+++…++
≥4（++…+）+＞4（++…+）
＞2（++…++）=．…（15分）
又因为对任意n∈N*，都有＜，
故当n≥2时，＞．…（16分）