Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）若方程f（x）=m恰有两个不等的实根，求m的取值范围．

Answer

（1）由题意可得，代入可求b，c
（2）由（1）知f（x）=（x2-3x+1）•ex，通过导数可求函数的极值，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．⇔y=f（x）与y=m有2个交点，结合函数性质可求
【解析】
（1）f′（x）=[x2+（b+2）x+b+c]•ex，
∵f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
∴
∴即
（2）由（1）知
f（x）=（x2-3x+1）•ex，
f′（x）=（x2-x-2）•ex
=（x-2）（x+1）•ex．

由上可知f（x）极大值=f（-1）=，
f（x）极小值=f（2）=-e2，
但当x→+∞时，f（x）→+∞；
又当x＜0时，f（x）＞0．
则当且仅当m∈（-e2，0]∪{}时，方程f（x）=m恰有两个不等的实根．