Question

若三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则此三角形的面积为r．若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体类似的结论为    ．

Answer

先用面积分割法，证明平面内的结论正确．然后将该命题推广到空间：若四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，则此四面体的体积为：V=（S1+S2+S3+S4）R．接下来可以用体积分割的方法，类似地证明推广到空间的结论也是正确的．
【解析】
先证明平面内的结论正确
设△ABC的内切圆圆心为I，圆I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
连接ID、IE、IF，则有
∵ID与圆I相切于点D，
∴ID⊥BC，可得三角形IBC的面积为S△IBC=BC•ID=ar，
（其中r是△ABC的内切圆半径）
同理可得：S△IAC=AC•IE=br，S△IAB=AB•IF=cr，
∴三角形ABC的面积为S=S△IBC+S△IAC+S△IAB=ar+br+cr=
根据此结论，将其类比到空间可得：
若四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，则此四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）R．
证明如下：
设四面体ABCD的内切球为球O，球O分别切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分别设S△BCD、S△ACD、S△ABD、S△ABC为S1、S2、S3、S4
∵球O切平面BCD于点E，
∴OE⊥平面BCD，三棱锥O-BCD的体积为V1=S△BCD•OE=S1R，
同理可得：三棱锥O-BCD的体积为V2=S△ACD•OF=S2R，三棱锥O-ABD的体积为V3=S△ABD•OG=S3R，
三棱锥O-ABC的体积为V4=S△ABC•OH=S4R
∴四面体ABCD的体积等于V=V1+V2+V3+V4=S1R+S2R+S3R+S4R=（S1+S2+S3+S4）R．
故答案为：四面体体积为V=（S1+S2+S3+S4）R