Question

已知各项为正数的等差数列{a_n}满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）（方法一）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，结合an＞0可知d＞0，从而可求d，进而可求通项
（方法二）由等差数列的性质可知a2+a8=a3+a7，结合a3•a7=32可求a3，a7，进而可求公差d，从而可求通项
（II）由题意可得=2n+1，从而可得cn=an+bn=n+1+2n+1，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求
【解析】
（I）（方法一）设等差数列{an}的公差为d
则
联立方程，消去a1可得，9-d2=8
∴d2=1
∴d=±1（4分）
由an＞0可知公差d＞0
∴d=1
∴a1=2
∴an=n+1（6分）
（方法二）∵数列{an}是等差数列
由等差数列的性质可得，a2+a8=a3+a7=12
∵a3•a7=32
∴
解方程可得，或（4分）
∵an＞0
∴d＞0，
∴
由等差数列的通项公式可得，d==
∴等差数列的通项公式为：an=a3+（n-3）d=n+1（6分）
（II）由=2n+1
∴cn=an+bn=n+1+2n+1
∴Sn=c1+c2+…+cn
=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）（9分）
=[2+3+…+（n+1）]+（22+23+…+2n+1）
==（12分）