Question

已知m∈R，设P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立．Q：函数在（-∞，+∞）上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．

Answer

由题设知x1+x2=a且x1+x2=-2，所以，≤3，由题意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集，由此知当m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．，由题设能够得到当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m2-12m-16＞0得m＜1或m＞4时，Q是正确得．由此可知使P正确且Q正确时，求出实数m的取值范围．
【解析】
由题设x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，得x1+x2=a且x1x2=-2，
所以，
当a∈[-1，1]时，a2+8的最大值为9，即|x1-x2|≤3
由题意，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[1，1]恒成立的m的解集等于不等式|m2-5m-3|≥3的解集，由此不等式得m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5不等式②的解为m≤1或m≥6因为，对m≤1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的．
对函数求导
令f'（x）=0，即此一元二次不等式的判别式．
若△=0，则f'（x）=0有两个相等的实根x，且f'（x）的符号如下：

因此，f（x）不是函数f（x）的极值．
若△＞0，则f'（x）=0有两个不相等的实根x1和x2（x1＜x2），且f'（x）的符号如下：

因此，函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m2-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
因为，当m＜1或m＞4时，Q是正确的．
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．