Question

已知函数，g（x）=x²．
（1）若，时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
【解析】
（1）当a=时，由题意可得，f′（x）=（1-）+=，g′（x）=2x，
又直线L与函数f（x），g（x）的图象相切于同一点，
∴=2x，（4分）
解得x=1，x=，（x=-1舍去），
此时，f（1）=g（1）=1，而f（）=+≠g（）=，切线的斜率k=2
∴切点为（1，1），则切线L的方程为：y=2x-1．（6分）
（2）∵f′（x）=a（1-）+=，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，须f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即≥0在[2，4]恒成立，即ax2+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
a（x2-1）≥-2x，即a≥=（2≤x≤4），（8分）
设u（x）=-x（2≤x≤4），因为u′（x）=--1＜0，所以u（x）在[2，4]上单调递减．
∴≥=≥-，
所以当a≥时，f（x）在[2，4]为单调增函数；（10分）
同理要使f（x）为单调减函数，须f′（x）≤0在[2，4]恒成立，易得a≤-，
综上，若f（x）在[2，4]为单调函数，则a的取值范围是（-∞，-]或[，+∞）．（12分）