Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10，设A₁C₁的中点为O₁．
（Ⅰ）求棱AA₁的长
（Ⅱ）求证：面A₁BC₁⊥面BDD₁O₁
（Ⅲ）求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先设出棱A1A的长，求出长方体的体积和被截的几何体的体积，根据条件建立等量关系，求出所求；
（Ⅱ）根据题意四边形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根据D1D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D1DC，由A1C1∥AC，可得A1C1⊥平面D1DC．从而可证平面A1BC1⊥平面BDD1．
（Ⅲ）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解析】
（Ⅰ）设A1A=h，由题设=-=10，
得SABCD×h-××h=10，
即2×2×h-××2×2×h=1解得h=3．
故A1A的长为3．（4分）
（Ⅱ）如图，连接AC、BO1
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴A1C1∥AC．
∴四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥D1D又AC与BD相交
∴AC⊥平面D1DC．   由A1C1∥AC．
∴A1C1⊥平面D1DC．A1C1⊂平面A1BC1．
∴平面A1BC1⊥平面BDD1．            （9分）
（Ⅲ）因为在长方体中A1D1∥BC，
所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．（11分）
在△O1BC中，计算可得O1B=O1C=，
则∠O1BC的余弦值为，
故异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为：．（14分）