Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）以D为坐标原点，DA、DB、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（D1是C1B1的中点），建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明且，即可证得B1F⊥平面ADF；
（2）求得平面AA1B1B的一个法向量，利用cos＜，＞=，即可求得二面角的余弦值．
（1）证明：以D为坐标原点，DA、DB、DD1分别为
x、y、z轴建立空间直角坐标系（D1是C1B1的中点），则A（2a，0，0），B（0，a，0），F（0，-a，2a），B1（0，a，3a），（4分）
，，，
由且，得B1F⊥DF，B1F⊥DA，
∵DF∩DA=D
∴B1F⊥平面ADF；（6分）
（2）由（1）知，，
设平面AA1B1B的一个法向量为，
则且，可取，（8分）
由cos＜，＞==-
即所求二面角的余弦值是．（13分）