Question

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为    ．

Answer

利用点差法求出直线AB的斜率，再根据P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．
【解析】
由题意，不妨设双曲线的方程为
∵P（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②
由①-②得：=
∵AB的中点为N（-12，-15），
∴
又AB的斜率是
∴，即4b2=5a2
将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5
∴双曲线标准方程是
故答案为：