Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值是多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然数M，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由数列{yn}满足（a＞0，且a≠1），知yn=2logaxn，yn+1=2logaxn+1，则yn+1-yn=2（logaxn+1-logaxn）=2loga（）．由{xn}为等比数列，知{yn}为等差数列．由y3=18，y6=12，得Sn=22n+•（-2）=-n2+23n．数列{yn}的前多少项和最大和相应的最大值是多少．
（2）由yn=22+（n-1）（-2）=2logaxn，知xn=a12-n．又xn=a12-n＞1，由此能够导出当0＜a＜1时，存在M=12，当n＞M时，xn＞1恒成立．
【解析】
（1）∵数列{yn}满足（a＞0，且a≠1），
∴yn=2logaxn，yn+1=2logaxn+1，
则yn+1-yn=2（logaxn+1-logaxn）=2loga（）．
∵{xn}为等比数列，
∴为定值．
∴{yn}为等差数列．
∵y3=18，y6=12，
∴y6-y3=3d=12-18，
∴d=-2，y1=y3-2d=22．
∴Sn=22n+•（-2）=-n2+23n．
∴当n=11或n=12时，Sn取得最大值，且最大值为132．
（2）∵yn=22+（n-1）（-2）=2logaxn，
∴xn=a12-n．又xn=a12-n＞1，
当a＞1时，12-n＞0，n＜12；
当0＜a＜1时，12-n＜0，n＞12．
综上所述，当0＜a＜1时，存在最小的自然数M=12，使得当n＞M时，xn＞1恒成立．