Question

已知函数f（x）=lnx，，
（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；
（II）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先求函数F（x）的导函数，通过解不等式得函数的单调区间，进而求得函数的极小值，证明此极小值恒大于零，即可证明函数F（x）没有零点；
（II）先利用函数单调性的定义，将所求问题转化为新函数h（x）=mg（x）-xf（x）=mx2-xlnx，在（0，+∞）上为增函数问题，进而转化为不等式恒成立问题，通过求函数最值法解决恒成立问题，即得所求结果
【解析】
（I）F（x）=ag（x）-f（x）=ax2-lnx，
F′（x）=ax-=   （x＞0）
∴函数F（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数
若F（x）没有零点，须且只须F（）＞0，
即+lna＞0，即
设g（a）=，∵g′（a）=
∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即当a＞0时，0恒成立
故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）
（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）成立，
即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）成立，
即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=mx2-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=，则G′（x）=
∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1