Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（I）若函数f（x）在x=2时取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（III）当a∈[3，6]时，不等式f（x）≤1对于任意x∈[-2，2]时恒成立，求m的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用函数f（x）在x=2时取得极值，可得f′（2）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可；
（Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时f（x）max≤1，即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值．
【解析】
（I）∵函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0），
∴
∵函数f（x）在x=2时取得极值
∴f′（2）=0
∴
∴a=6或a=-2
∵a＞0
∴a=6
当a=6时，f′（x）=3（x-2）（x+6），函数在（-∞，-2），（6，+∞）单调递增，（-2，6）上单调递减，故满足函数f（x）在x=2时取得极值
（Ⅱ）当a＞0时，∵
由（I）知f（x）在上单调递增，在上单调递减；
则要f（x）在[-1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．
∴，
∴
∵a＞0，∴a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴≤-3
又x∈[-2，2]
由（I）的单调性质知，f（x）max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∴f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m
∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，
∵9-4a-2a2=-2（a+1）2+11
∴a=6时，9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87