Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，Q是PA上一点，且PA=4PQ=4，四边形ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，，M，N分别为PD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角M-CN-P的余弦值．

Answer

（Ⅰ）以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进一步可表示向量，，求出平面PBC的法向量，可得，从而可证MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求出平面MCN的法向量为，平面PNC的法向量为，利用cos=，可取二面角M-CN-P的余弦值．
（Ⅰ）证明：以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C（，1，0），D（，0，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），M（，0，2），N（0，1，2）
∴，
设平面PBC的法向量，则，
∴，可取
∴
∵MQ⊄平面pPCB
∴MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）【解析】
设平面MCN的法向量为
∵
∴，∴，可取
又平面PNC的法向量为
∴cos==
∴二面角M-CN-P的余弦值为．