Question

椭圆（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使成立（Q为直线l外的一点）？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为bx+ay-ab=0（a＞b＞0），利用原点O到直线AB的距离为，椭圆的离心率为，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）根据，可得，再分类讨论：当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，此时直线方程x=0；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量条件，即可确定不存在．
【解析】
（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为bx+ay-ab=0（a＞b＞0）
∵原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为．
∴，
∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）∵，∴①
当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），符合条件，此时直线方程x=0；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程，消元可得
（9+36k2）x2+120kx+64=0
由△=14400k2-256（9+36k2）＞0，可得
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-②，x1x2=③，
由①得x1=4x2④，
由②③④消去x1，x2，可得=
∴9=0，矛盾
综上，存在符合条件的直线l：x=0．