已知函数f（x）=x3-ax．（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ...

已知函数f（x）=x³-ax．（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证： manfen5.com 满分网

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（I）先求导，令f′（x）=0，由f′（x）≥0可求函数的递增区间，由f′（x）＜0可求函数的单调递减区间（II）要证明原不等式，可转化为证明x2lnx，构造函数设p（x）=x2lnx，q（x）=--=，利用导数可得当x=时，函数p（x）取得最小值，利用基本不等式可求q（x）有最小值q（x）=-，可证解（I）f′（x）=3x2-a 当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增当a＞0时，由由f′（x）≥0可得c×或x 由f′（x）＜0可得综上可得，a≤0时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在R上单调递增当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），（-∞，-），单调递减区间（）（II）证明：原不等式可化为xlnx＞容易得x＞0，上式两边同乘以x可得x2lnx 设p（x）=x2lnx，q（x）=--= 则由p′（x）=x（2lnx+1）可得x=0（舍）或x= ∴时，p′（x）＜0，x＞时，p′（x）＞0 ∴当x=时，函数p（x）取得最小值 ∵q（x）=--== 当且仅当即xex=e时取等号令r（x）=xex，可得r（x）在（0，+∞）上单调递增，且r（1）=e 当x=1时，q（x）有最小值q（x）=- ∴ 由于上面两个等号不能同时取得，故有p（x）＞q（x0，则原不等式成立

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考点分析：

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