Question

如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的两点，AF∥OC，过C作圆O的切线交AF的延长线于点D．
（Ⅰ）证明：∠DAC=∠BAC；
（Ⅱ）若CM⊥AB，垂足为M，求证：AM•MB=DF•DA．

Answer

（Ⅰ）AF∥OC⇒∠CAF=∠ACO，OA=OC⇒∠CAO=∠ACO，根据相等的传递性，得出∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）连接BC，在RT△ACB中，CM2=AM•MB，又CD为圆O的切线，所以CD2=DF•DA，只需证出CD=CM即可．根据圆的切线性质，OC⊥CD，结合AD∥OC得出AD⊥CD，从而可以证出RT△AMC≌△RTADC，CM=CD．
证明：（Ⅰ）∵AF∥OC，∴∠CAF=∠ACO．
又∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAF=∠CAB，即∠DAC=∠BAC．
（Ⅱ）连接BC，在RT△ACB中，CM⊥AB，
∴CM2=AM•MB
又CD为圆O的切线，∴CD2=DF•DA
∵OC⊥CD，AD∥OC，∴AD⊥CD．
∴RT△AMC≌△RTADC，∴CM=CD
∴AM•MB=DF•DA．