Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”．

Answer

（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1，建立方程组，从而可得f（x）的解析式为f（x）=（x2-2x+1）ex．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x2-1）ex，假设当x＞1时，f（x）存在“保值区间”[m，n]（n＞m＞1），进而问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根，构造新函数h（x）=（x-1）2ex-x（x≥1），可判断存在唯一x∈（1，2），使得h′（x）=0，h（x）在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增，从而可得当x＞1时，h（x）的图象与x轴有且只有一个交点，即方程（x-1）2ex-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾，故可得证．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=（ax2+bx+c）ex，
∴f′（x）=[ax2+（2a-b）x+（b+c）]ex，（2分）
∵函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1．
∴，即，解得
所以f（x）的解析式为f（x）=（x2-2x+1）ex．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x2-1）ex，
假设当x＞1时，f（x）存在“保值区间”[m，n]（n＞m＞1）
因为当x＞1时，f'（x）=（x2-1）ex＞0，所以f（x）在区间（1，+∞）上是增函数
∴
于是问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根． （6分）
现在考查函数h（x）=（x-1）2ex-x（x≥1），h′（x）=（x2-1）ex-1
令φ（x）=（x2-1）ex-1，∴φ′（x）=（x2+2x-1）ex，
当x＞1时，φ′（x）＞0
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，即h′（x）在（1，+∞）上是增函数
∴h′（1）=-1＜0，，h′（2）=3e2-1＞0
∴存在唯一x∈（1，2），使得h′（x）=0（10分）
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x （1，x） x （x，+∞）
h′（x） - +
h（x） 单调递减 极小值 单调递增

所以，h（x）在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增．
∴h（x）＜h（1）=-1＜0
∵h（2）=e2-2＞0
∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴有且只有一个交点
即方程（x-1）2ex-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾
故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．（13分）