Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且有．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n；
（2）设，试判断数列{c_n}的单调性，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，设M_n是数列{c_n}的前n项和，证明：．

Answer

（1）根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，可求数列{an}的通项an，根据，可得bn+1=2bn-1，从而{bn-1}是公比为2的等比数列，故可求数列{bn}的通项bn；
（2），数列{cn}为递减数列，再用作差法证明即可；
（3）根据，可得Mn=c1+c2+…+cn≥，利用错位相消法，求出右边的和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵Sn=n（n+2），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1
当n=1时，a1=S1=3满足上式
∴an=2n+1
∵
∴Tn+1-Tn=2bn-1
∴bn+1=2bn-1
∴bn+1-1=2（bn-1）
∴{bn-1}是公比为2的等比数列
∴
∴
（2）【解析】
，数列{cn}为递减数列
证明：∵
=
∴数列{cn}为递减数列
（3）证明：∵
∴Mn=c1+c2+…+cn≥
令①
∴②
①-②：=
∴
∴=
∴