Question

已知函数f（x）=2x³+px+r，g（x）=15x²+qlnx（p，q，r∈R）．
（I）当r=-35时f（x）和g（x）在x=1处有共同的切线，求p、q的值；
（II）已知函数h（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极大值-13，在x=x₁和x=x₂（x₁≠x₂）处取得极小值h（x₁）和h（x₂），若h（x₁）+h（x₂）＜kln3-10成立，求整数k的最小值．

Answer

（Ⅰ） 由题意得：，代入可求p，q
（Ⅱ）由题意可得代入可得p，qr的关系，代入到h′（x）中，若h（x1）+h（x2）＜kln3-10成立，则只要h（x1）+h（x2）的最大值＜kln3-10，从而可求k
【解析】
（Ⅰ） f′（x）=6x2+p，，
由题意得：，故，解得：．      （5分）
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）-g（x）=2x3+px+r-15x2-qlnx，
∴．
由得：，得．
∴=．
由题意知h（x）在x=x1和x=x2处取得极小值，则0＜x1＜1＜x2，
设m（x）=6x2-24x+p-24，则，从而24＜p＜42．
且，设x1x2=t，则0＜t＜3
.
=
=-112+6•x1x2+2p-（p-24）ln（x1x2）
=-112+6t+12t+48-6tlnt
=-64+18t-6tlnt．             （6分）
设F（t）=-64+18t-6tlnt，
则F′（t）=18-（6lnt+6）=6（2-lnt）＞0，
∴F（t）在（0，3）上是增函数，
∴h（x1）+h（x2）＜F（3）=-10-18ln3．
则kln3-10≥-10-18ln3，从而k≥-18．
即：所求的k的最小值为-18．