Question

已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（-4，0）．
（1）求证：当λ=1时，；
（2）若当，求椭圆C的方程．

Answer

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）通过λ=1时，，M、N两点在椭圆上，求出，然后通过数量积证明．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，），通过，求出a，b，得到椭圆的方程．
【解析】
（1）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）
则，，
当λ=1时，∴-y1=y2，x1+x2=2c，
由M、N两点在椭圆上，
∴，，
∴若
，则，（舍去），
所以，
∴，，
，
∴．
（2）当λ=1时，不妨设M（c，），N（c，），
，
因为a2=，，
∴，
∴c=2，a2=6，b2=2，
故椭圆的方程为．