Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

Answer

（I）连接A1B，交AB1于P点，由平行四边形对角线互相平分及M是BC的中点，结合三角形中位线定理可得PM∥A1C，进而由线面平行的判定定理得到A1C∥平面AB1M；
（Ⅱ）以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AB1M的法向量和平面AB1B的法向量，代入向量夹角公式，可求二面角B-AB1-M的大小
证明：（I）连接A1B，交AB1于P点，
则P是A1B的中点，
又M是BC的中点
则PM∥A1C
又∵PM⊂平面AB1M，A1C⊄平面AB1M
∴A1C∥平面AB1M；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，
以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
∵CA=CB=CC1=2，M是BC的中点
则A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，2，2），
则=（-2，1，0），=（-2，2，2），=（-2，2，0）
设平面AB1M的法向量为=（x，y，z）
则，即
令x=1，则=（1，2，-1）
设平面AB1B的法向量为=（a，b，c）
则，即
令a=1，则=（1，1，0）
∵cos＜，＞==
∴二面角B-AB1-M的大小为30°