Question

已知正项数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若C_n+1-C_n=a_n+1，且C₁=1，求{C_n}的通项公式；
（Ⅲ）设．

Answer

（I）要证数列{an}是等差数列，只要证明an+1-an为常数，由an＞0 及已知递推关系可证
（II）由（I）知求an=2n+1，从而可得Cn+1-Cn=2n+1，故可利用迭代法Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1求解
（III）由=，结合数列的通项的特点，故考虑利用错位相减求和即可
（I）证明：由已知可得：（an+1+an）（an+1-an）-2（an+1+an）=0
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0
∴an+1+an＞0
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）【解析】
由（I）知an=1+2（n-1）=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
当n≥2时，Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
当n=1时，适合上式
∴（8分）
（III）【解析】
∵=
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=①
=②
①-②可得，=
==
∴（12分）