Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD=1，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（I）由AB2=AD2+BD2，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能够证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，求出平面PBC的法向量，由此能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：∵AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，
又∵PD∩BD=D，∴AD⊥平面PBD，
又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD． （6分）
（Ⅱ）如图，分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），，P（0，0，1），，
∴，，，
设平面PBC的法向量为，则，
解得，
设AP与平面PBC所成角为θ，则． （12分）