Question

对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”．给出定义域均为D={x|0≤x≤4}的四组函数如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=；   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1；
③f（x）=e^x-2x（其中e为自然对数的底数），g（x）=2-x；④f（x）=x-，g（x）=．
其中，函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”的是    ．

Answer

对照新定义，构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在D上是“密切函数”，即可得到结论
【解析】
对于①，设h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-，
∴≥0
∵0≤x≤4
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=0，h（4）=
∵
∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”；
对于②，设h（x）=f（x）-g（x）=x3-3x+1，
∴h′（x）=3x2-3
∵0≤x≤4
∴0≤x≤1，h′（x）≤0，1≤x≤4，h′（x）≥0
∵h（0）=1，h（1）=-1，h（4）=53
∴函数在x=1时，取得最小值-1；在x=4时，取得最大值53，
故不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
对于③，设h（x）=f（x）-g（x）=ex-x-2，
∴h′（x）=ex-1
∵0≤x≤4
∴h′（x）≥0
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=-1，h（4）=e4-6
∵e4-6＞1
∴不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1；
对于④，设h（x）=f（x）-g（x）=x--．x=0时满足题意
x≠0时，
∵0＜x≤4
∴
∴
∴h（x）在[0，4]上单调增，
∵h（0）=-，h（4）=
∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，
∴函数f（x）和g（x）在D上为“密切函数”；
故答案为：①④