Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+4n（n∈N^*），数列{b_n}为等比数列，且首项b₁和公比q满足：
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=，记数列{c_n}的前n项和T_n，若不等式λ（a_n-2n）≤4T_n对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

Answer

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2+4n-（n-1）2-4（n-1）=2n+3，验证n=1时也成立．由此能求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由=n•3n，知Tn═3+2•32+3•33+…+n•3n，利用错位相减法能求出．不等式λ（an-2n）≤4Tn可化为λ≤（2n-1）•3n+1，由此能求出实数λ的最大值．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=5．
当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2+4n-（n-1）2-4（n-1）=2n+3，
验证n=1时也成立．
∴数列{an}的通项公式为：an=2n+3（n∈N*）．
∵
==-5，
∴，解得：b1=2，q=3．
∴数列{bn}的通项公式为：bn=2•3n-1．（5分）
（Ⅱ）∵=n•3n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=3+2•32+3•33+…+n•3n①
3Tn=32+2•3n+3•34+…+n•3n+1②
由①-②得：-2Tn=3+32+…+3n-n•3n+1
=
=，
∴．（8分）
不等式λ（an-2n）≤4Tn可化为λ≤（2n-1）•3n+1，（*）
设f （n）=（2n-1）•3n+1，
易知函数f （n）在n∈N*上单调递增，
故当n=1时（2n-1）•3n+1取得最小值为4，
∴由题意可知：不等式（*）对一切n∈N*恒成立，只需λ≤4．
∴实数λ的最大值为4．（12分）