Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F_lvF₂，离心率e=，A为右顶点，K为右准线与x轴的交点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l，使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点F₁恰为△BCD的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由e=，得a=，利用可得，求出几何量，从而求出椭圆方程；
（Ⅱ）直线F1B：y=-x+m，代入x2+2y2=2整理，得3x2-4mx+2m2-2=0．利用椭圆的左焦点F1恰为△BCD的垂心可得，从而可得，进而可确定m的值，由此可得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0），
由e=，得a=．    ①
∵A为右顶点，K为右准线与x轴的交点，
∴A（a，0），K（，0），
∴=（c-a，0），=（-a，0），
∵
∴ ②
由①、②解得a=，c=1，
∵b2=a2-c2=1，∴b=1．
∴椭圆方程为．（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B（0，1），F1（-1，0），
于是直线F1B的斜率为．
由于BF1⊥CD，令l：y=-x+m，代入x2+2y2=2整理，得3x2-4mx+2m2-2=0．
令C（x1，y1），D（x2，y2），则
又=（x1+1，y1）•（x2，y2-1）=x1x2+x2+y1y2-y1=x1x2+x2+（m-x1）（m-x2）-（m-x1）
=2x1x2+m2-m（x1+x2）-m+（x1+x2）=2x1x2+（1-m）（x1+x2）+m2-m，
由，代入x1+x2，x1x2得，
整理得3m2+m-4=0，
解得m=1或． （11分）
当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．
当时，满足△=8（3-m2）＞0．
故所求的直线l为：，即3x+3y+4=0．（14分）